千万个为什么137哪些灯还亮着

千万个为什么哪些灯还亮着

有一百盏电灯，排成一横行。从左自右，我们给电灯编上号码1，2，3，…，99，100。每一盏灯由一个拉线开关控制着。最初，电灯全是关着的。

另外，还有一百个学生。第一个学生走过来，把凡是号码是1的倍数的电灯的开关拉了一下;接着第二个学生走了过来，把凡是号码是2的倍数的电灯开关拉了一下;第三个人再走过来，把凡是号码是3的倍数的电灯上的开关拉了一下，如此下去，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉一下。这样做过之后，问:哪些灯是亮着的?

这简直令人眼花缭乱，不易理出头绪,方法不当就更不得要领。

正确的思考是:由于最初所有的电灯都是关着的,所以被拉了偶数次开关的电灯,仍然是关着的;只有那些被拉了奇数次开关的电灯才是亮着的，因此，我们只须去关心那些被拉过奇数次开关的电灯。

按照问题所规定的法则，编号为n的电灯被拉过几次呢?全看整数n中有多少个正因数。如果n不是平方数，那么n的全部正因数的个数是偶数，这盏灯是关着的。只有当n是平方数时，n的全部正因数的个数是奇数，这盏电灯被拉过奇数次，因此它是亮着的。

这样，我们知道了，只有编号为

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的灯是亮着的。